K 最近邻的核心数学知识是距离的计算和权重的计算。我们把需要预测的点作为中心点，然后计算其周围一定半径内的已知点距其的距离，挑选前 k 个点，进行投票，这 k 个点中，哪个类别的点多，该预测点就被判定属于哪一类。

1. 两点间距离公式

已知坐标系中有两个点，三角形坐标 (3,4) 和圆坐标 (7,7)，如图 1 所示，它们的距离应该如何计算呢？

我们一般使用欧式距离，即高中学到的两点间的距离公式，如图 2 所示，它的本质就是勾股定理：

a²+b²=c²

根据勾股定理，我们可计算两点之间的距离为 5。

图1：已知直角坐标系中有两个点(3,4),(7,7)
 

图2：使用勾股定理计算两点之间的距离为5

2. 权重

权重是指某一个因素相对于整个事物的重要程度，它既体现了各个因素所占的百分比，同时也强调了因素的相对重要程度和贡献度。

例如，成绩评分分为平时成绩和考试成绩，平时成绩占总成绩的 30%，而考试成绩占 70%。也就是说，如果平时成绩是 90 分，考试成绩是 80 分，则总成绩是90×0.3+80×0.7=83分。

从这个权重配比来看，相比平时成绩，学校更看重的是考试成绩。

3. K 最近邻算法原理

现在给出一个点 (2,5)，很容易判别该点属于三角形的类别，因为它的周围全部都是三角形，如图 3 所示。

图3：坐标系中分布着若干个点
 

图4：新出现一个点（2,5）
 

同样的道理，给出点 (8,5)，也很容易判别这一点属于圆形的类别，如图 5 所示。

图5：新出现一个点(8,5)
 

但如果一点出现在 (5,5) 位置时，如图 6 所示，它应该属于哪一个类别呢？似乎并不好判别，因为它的周围既有三角形，又有圆形。

图6：新出现一个点(5,5)

让我们看一看K最近邻算法是如何解决这个问题的。如图 7 所示，K 最近邻算法首先会计算图像中每个样本点到该观测点的距离。

图7：计算所有点到该点的距离

然后将距离从小到大排序，取出前 k 个值，这里我们假设 k=5，也就是说取离观测值最近的 5 个点，如图 8 所示：

图8：取k=5个点

然后在这 5 个值中计算各个类别的个数，个数最多的类别，就是该观测值的类别。例如，这里三角形有 3 个，圆形有 2 个，三角形的个数大于圆形的个数，所以该观测值会被判定为三角形。

回想本节开头所给出的两个图，图 4 和图 5。当 k=5 时，点 (2,5) 周围最近的 5 个点全部都是三角形，所以该点被判定为三角形，如图 9 所示。

图9：当周围都是三角形的时候就被判定为三角形
 

k=5 时，点 (8,5) 周围最近的 5 个点全部都是圆形，所以该点被判定为圆形，如图 10 所示。

图10：当周围都是圆形的时候就被判定为圆形

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