在大多数真实世界的预测问题中，我们常常希望得到我们预测结果的不确定度。通过预测出一个取值区间而不是一个个具体的取值点对于具体业务流程中的决策至关重要。

分位数损失函数在我们需要预测结果的取值区间时是一个特别有用的工具。通常情况下我们利用最小二乘回归来预测取值区间主要基于这样的假设：取值残差的方差是常数。但很多时候对于线性模型是不满足的。这时候就需要分位数损失函数和分位数回归来拯救回归模型了。它对于预测的区间十分敏感，即使在非常数非均匀分布的残差下也能保持良好的性能。下面让我们用两个例子看看分位数损失在异方差数据下的回归表现。

上图是两种不同的数据分布，其中左图是残差的方差为常数的情况，而右图则是残差的方差变化的情况。我们利用正常的最小二乘对上述两种情况进行了估计，其中橙色线为建模的结果。但是我们却无法得到取值的区间范围，这时候就需要分位数损失函数来提供。

上图中上下两条虚线基于0.05和0.95的分位数损失得到的取值区间。从图中可以清晰地看到建模后预测值得取值范围。分位数回归的目标在于估计给定预测值的条件分位数。实际上分位数回归就是平均绝对误差的一种拓展（当分位数为第50个百分位时其值就是平均绝对误差）

分位数值得选择在于我们是否希望让正的或者负的误差发挥更大的价值。损失函数会基于分位数γ对过拟合和欠拟合的施加不同的惩罚。例如选取γ为0.25时意味着将要惩罚更多的过拟合而尽量保持稍小于中值的预测值。γ的取值通常在0-1之间，图中描述了不同分位数下的损失函数情况，明显可以看到对于正负误差不平衡的状态。

我们可以利用分位数损失函数来计算出神经网络或者树状模型的区间。下图是计算出基于梯度提升树回归器的取值区间。90%的预测值起上下边界分别是用γ值为0.95和0.05计算得到的。

在文章的最后，我们利用sinc(x)模拟的数据来对不同损失函数的性能进行了比较。在原始数据的基础上加入而高斯噪声和脉冲噪声（为了描述鲁棒性）。下图是GBM回归器利用不同的损失函数得到的结果，其中ABCD图分别是MSE,MAE,Huber,Quantile损失函数的结果：

我们可以看到MAE损失函数的预测值受到冲击噪声的影响更小，而MSE则有一定的偏差；Huber损失函数对于超参数的选取不敏感，同时分位数损失在对应的置信区间内给出了较好的估计结果。

希望小伙伴们能从这篇文章中更深入地理解损失函数，并在未来的工作中选择合适的函数来更好更快地完成工作任务。

最后，附上本文中几种损失函数的简图，回味一番：