tianjing2020
2021-11-02 17:08:14
特征分解 Eigendecomposition
特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。
N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立：
其中 λ 为一标量，称为 v 对应的特征值。也称 v 为特征值 λ 对应的特征向量。也即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。
由上式可得
称多项式 p(λ) 为矩阵的特征多项式。上式亦称为矩阵的特征方程。特征多项式是关于未知数 λ 的 N 次多项式。由代数基本定理，特征方程有 N 个解。这些解的解集也就是特征值的集合，有时也称为“谱”（Spectrum）。
我们可以对多项式 p 进行因式分解，而得到
其中
对每一个特征值 λi ，我们都有下式成立：
对每一个特征方程，都会有
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